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数学の問題の発見的解き方 1【新装版】

MATHEMATICAL DISCOVERY

On Understanding, Learning, and Teaching Problem Solving


問題を解くということは、人間特有の知性の働きであり、あらゆる人間活動の源泉となるものである。本書は読者に、著者ポリアのいわゆる“発見的”方法を通して数学の問題の解き方を会得させ、またそのような指導法を提供しようというのである。
問題を解くということは、水泳をし、スキーをし、ピアノをひくときと同じように、模倣と実習から始まる、一つの実技である。本書において、読者はまず適切な例題と問題を解くことによってこの実技に習熟し、それと共にいくつかのパターンを獲得するであろう。しかもその間、著者の周到な解説や注意によって、読者は自然に“発見的”な態度を修得し、これらの態度はすでに獲得されたパターンの上に自らのパターン、新しい、より進んだ問題を解く創造的な能力を形成していくであろう。
数学の人間に対する真の効用を飽くまで前面におしだしたものとして本書は画期的なものであり、特に数学教育者、数学愛好家には必読書であり、名著“いかにして問題を解くか”のケース・スタディーとして、およそ新しい問題を手掛けるすべての人びとに多大の示唆を与えるであろう。
[1964年10月初版発行]


目次


日本版へのメッセージ

読者へのヒント

第一部 パターン
第1章 二つの軌跡のパターン
1.1. 幾何学の作図
1.2. 例からパターンへ
1.3. 例
1.4. 問題は解けたものとせよ
1.5. 相似図形のパターン
1.6. 例
1.7. 補助図形のパターン
第1章の例題と注釈, 1.1‐1.51
〔1.7. 記法.1.15. 三つの灯台.1.42. 欠陥.1.44. 振り返えってみれば.1.45. 三つの聴音哨.1.46. 二つの軌跡のパターンについて.1.47. 三つの軌跡のパターン.1.49. 幾何学の作図題について.1.50. もっと多くの問題を.1.51. 集合.〕

第2章 デカルトのパターン
2.1. デカルトと普遍的方法の考え
2.2. 小さな問題
2.3. 方程式を立てること
2.4. 教室の例
2.5. 幾何学からの例
2.6. 物理学からの一例
2.7. パズルからの一例
2.8. 困らせる例
第2章の例題と注釈, 2.1‐2.78
(第一部, 2.1‐2.16;第二部, 2.17‐2.78)〔2.10. ヘロンの定理の類比.2.11. ピタゴラスの定理の別な類比.2.12. ピタゴラスの定理のもう一つ別な類比.2.13. ヘロンの定理の別な類比.2.17. 雑題.2.28. エジプトの問題.2.32. 平面幾何学.2.33. 幾何学の問題において方程式を立てるときのニュートン.2.46. 立体幾何学.2.54. 不等式.2.55. 球面計.2.56. 図式時間表.2.64. 未知数と同数の方程式.2.65. 未知数より多数の方程式.2.67. 未知数より小数の方程式.2.72. デカルトの規則.2.73. 問題を裸にせよ.2.74. 関連知識. 動員と編成.2.75. 独立と連立.2.76. 一意的な解、予想.2.77. なぜ文章題を? 2.78. もっと多くの問題を.〕

第3章 あともどり
3.1. 小さな発見の物語
3.2. 意外なところから
3.3. これは応用しないではおれない
3.4. あともどり
3.5. アブラカダブラ
3.6. パスカルの三角形
3.7. 数学的帰納法
3.8. 先き先きの発見
3.8. 観察し、一般化し、証明し、また証明せよ
第3章の例題と注釈, 3.1‐3.92
(第一部, 3.1‐3.21;第二部, 3.22‐3.30;第三部, 3.31‐3.55;第四部, 3.56‐3.92)〔3.2. 一般の場合に同値な特別な場合.3.21. 数学的帰納法の二つの形式.3.44. 三項係数.3.51. ライプニッツの調和三角形.3.56. ベキ級数.3.61. 分数および負数を指数とする二項定理.3.65. 範囲を拡げること.3.70. 未定係数法.3.75. ベキ級数の反転.3.81. 微分方程式.3.91. 数πについて.3.92. もっと多くの問題を.〕

第4章 重ね合わせ
4.1. 補間
4.2. 特殊な状位
4.3. 一般の場合を解くために特別な場合を結合すること
4.4. パターン
第4章の例題と注釈, 4.1‐4.36
(第一部, 4.1‐4.16;第二部, 4.17‐4.36)〔4.11. 一次結合あるいは重ね合わせ.4.12. 定数係数の線型斉次微分方程式.4.14. 定数係数の線型斉次差分方程式.4.15. フィボナッチの数.4.16. 運動の重ね合わせ.4.17. 接近の多様性.4.18. 未知数は何か? 4.20. ここに当面の問題に関連していて、前に解いたことのある問題がある.4.22. もっと多くの知識.4.24. 角台の公式.4.30. 鎖の中に一つでも弱い環があれば全体が弱くなる.4.32. シンプソンの規則.4.36. スコープを広くすること..〕

第二部 一般的方法に向かって
第5章 問題
5.1. 問題とは何か?
5.2. 問題の分類
5.3. 決定問題
5.4. 証明問題
5.5. 未知数の成分、条件の箇条
5.6. 手続きを求む
第5章の例題と注釈, 5.15‐5.19
〔5.8. 証明か決定か?. 5.9. もっと多くの問題を.5.10. 解答の手続きは操作の無限系列から成ることがある.5.11. 円を正方形に直すこと.5.12. 順序と結果.5.13. 遺憾なあいまいさ.5.14. データと未知数, 仮説と終結.5.15. データを数えること.〕

第6章 スコープを拡げること
6.1. デカルトのパターンのより広いスコープ
6.2. 二つの軌跡のパターンのより広いスコープ
6.3. どの箇条から始めるか?
6.4. あともどり式のより広いスコープ
6.5. 未知のものを次第に征服する
第6章の例題と注釈, 6.16‐6.25
〔6.1. 多くの箇条を持つ条件.6.9. 条件の一部だけを残せ.6.10. アリアドネの糸.6.18. もっと多くの問題を.6.19. 中間のゴール.6.20. 図的表示.6.21. 数学以外の問題の幾つかの型.6.25. もっと細かい分類.〕

解答
追記 教師ならびに教師の教師へのヒント
参考文献
訳者あとがき
索引


著訳者略歴

ジョージ・ポリア
George Polya

1887-1985。ハンガリーの首都ブダペストに生れる。1912年プダベスト大学より Ph. D.取得。1920-40年チューリッヒ工科大学教授、1940年ブラウン大学客員教授、1942-53年スタンフォード大学教授、1953年同大学名誉教授。 ...続きを読む »

※ここに掲載する略歴は本書刊行時のものです。
柴垣和三雄
しばがき・わさお

1906年金沢市に生れる。1929年東京大学理学部物理学科卒業。数学専攻。理学博土。九州大学名誉教授。前・東京理科大学理学部教授。2001年歿。 ...続きを読む »

※ここに掲載する略歴は本書刊行時のものです。
金山靖夫
かなやま・やすお

1923年熊本市に生れる。1946年九州大学工学部電気工学科卒業。1974年福岡県立修猷館高等学校在任中に死去。

※ここに掲載する略歴は本書刊行時のものです。

この本の関連書


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数学の問題の発見的解き方 1【新装版】

「数学の問題の発見的解き方 1【新装版】」の書籍情報:

A5判 タテ210mm×ヨコ148mm/264頁
定価 5,940円(本体5,400円)
ISBN 978-4-622-08605-5 C3041
2017年4月10日発行

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